如图①，已知点在线段上，在和中，，， ，且为的中点. （1）连接并延长交于，求证...

（1）见解析；（2），；（3）成立，证明见解析； 【解析】 （1）由∠ABC＝∠ADE＝90°可推出DE∥BC，再根据平行线的性质，推出∠DEM＝∠MCN，根据ASA证明△EMD≌△CMN，求出CN＝ED，即可得到CN＝AD； （2）由（1）可知CN＝AD，DM＝MN，再由AB＝BC，可得BD＝BN，从而可得△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边DN上的中线，即可得到，BM⊥DM； （3）作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，根据平行线的性质求出∠EDM＝∠CNM，利用AAS证明△EMD≌△CMN，得到CN＝DE＝DA，MN＝MD，∠E＝∠NCM＝45°，然后根据SAS证△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，根据等腰直角三角形的性质即可进行证明． 【解析】 （1）∵AD＝DE，AB＝BC，， ∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，， ∴DE∥BC， ∴∠DEM＝∠NCM， 在△EMD和△CMN中，， ∴△EMD≌△CMN（ASA）， ∴CN＝DE， ∵AD＝DE， ∴CN＝AD； （2），BM⊥DM， 理由：由（1）得：△EMD≌△CMN， ∴CN＝AD，DM＝MN， ∵BA＝BC， ∴BD＝BN， ∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线， ∴，BM⊥DM； （3），BM⊥DM仍成立， 证明：如图，作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN， ∴∠EDM＝∠CNM， 在△EMD与△CMN中，， ∴△EMD≌△CMN（AAS）， ∴CN＝DE＝DA，MN＝MD，∠E＝∠NCM＝45°， 又∵∠DAB＝180°−∠DAE−∠BAC＝90°，∠BCN＝∠BCM＋∠NCM＝45°＋45°＝90°， ∴∠DAB＝∠BCN， 在△DBA和△NBC中，， ∴△DBA≌△NBC（SAS）， ∴∠DBA＝∠NBC，DB＝BN， ∴∠DBN＝∠ABC＝90°， ∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线， ∴，BM⊥DM．