如图,是的直径,交于,是上一点,为内心,交于,且. (1)求证:是的切线; (2...

见解析 【解析】 （1）利用三角形内心性质得∠EBD＝∠CBD．加上∠DBE＝∠BAD，则∠CBD＝∠BAD，根据圆周角定理得到∠BDA＝90°．然后证明∠ABC＝90°．于是根据切线的判定定理可判断BC是⊙O的切线； （2）连接ED，如图，则∠BED＝∠CED，再证明∠EFD＝∠EGD，从而可判断△DFE≌△DGE．于是得到DF＝DG． （1）∵点D为△BCE的内心， ∴BD平分∠EBC． ∴∠EBD＝∠CBD． 又∵∠DBE＝∠BAD， ∴∠CBD＝∠BAD． 又∵AB是〇O直径， ∴∠BDA＝90°． 在Rt△BAD中，∠BAD＋∠ABD＝90°， ∴∠CBD＋∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°． ∴BC⊥AB． 又∵AB为直径， ∴BC是〇O的切线； （2）连接ED，如图， 则ED平分∠BEC， ∴∠BED＝∠CED． ∵∠EFD为△BFD的外角 ∴∠EFD＝∠ADB＋∠EBD＝90°＋∠EBD， 又∵四边形ABDG为圆的内接四边形， ∴∠EGD＝180°−∠ABD＝180°−（90°−∠CBD）＝90°＋∠CBD， 又∵∠EBD＝∠CBD， ∴∠EFD＝∠EGD 又∵ED＝ED， ∴△DFE≌△DGE（AAS ）． ∴DF＝DG．