解法一:在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中,也可以建立空间直角坐标系,设定参量求解.这种解法的好处就是:(1)解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理,因为这些可以用向量方法来解决.(2)即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可.设AB=a,则A1(0,0,2a),C(0,a,0),C1(0,a,2a),D(a,0,a)
(Ⅰ)=(a,-a,-a),=(0,a,-2a)
(Ⅱ)又∵=(a,0,-a),=(0,a,0),∴⊥,⊥,∴A1D⊥平面ACD
解法二:
(Ⅰ)求异面直线所成的角,可用几何法,其基本解题思路是“异面化共面,认定再计算”,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结合余弦定理来求.连接AC1交A1C于点E,取AD中点F,连接EF,则EF∥C1D,∴直线EF与A1C所成的角就是异面直线C1D与A1C所成的角.
(Ⅱ)欲证平面A1DC⊥平面ADC,先证直线与平面垂直,由题意可得:AC⊥A1D,AD⊥A1D,∴A1D⊥平面ACD,又A1D⊂平面A1CD,∴平面A1DC⊥平面ADC
【解析】
解法一:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系设AB=a,
则A1(0,0,2a),C(0,a,0),C1(0,a,2a),D(a,0,a)(2分)
于是=(a,-a,-a),=(0,a,-2a)
∵cos<,>===,(6分)
∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos(7分)
(Ⅱ)∵=(a,0,-a),=(0,a,0),
∴•=a2+0-a2=0,•=0(10分)
则⊥,⊥
∴A1D⊥平面ACD(12分)
又A1D⊂平面A1CD,
∴平面A1DC⊥平面ADC(14分)
解法二:
(Ⅰ)连接AC1交A1C于点E,取AD中点F,连接EF,则EF∥C1D
∴直线EF与A1C所成的角就是异面直线C1D与A1C所成的角(2分)
设AB=a,
则C1D==a,
A1C==a,AD==a.
△CEF中,CE=A1C=a,EF=C1D=a,
直三棱柱中,∠BAC=90°,则AD⊥AC(4分)
CF===a(4分)
∵cos∠CEF===,(6分)
∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos(7分)
(Ⅱ)直三棱柱中,∠BAC=90°,∴AC⊥平面ABB1A1,则AC⊥A1D(9分)
又AD=a,A1D=a,AA1=2a,
则AD2+A1D2=AA12,于是AD⊥A1D(12分)
∴A1D⊥平面ACD又A1D⊂平面A1CD,
∴平面A1DC⊥平面ADC(14分)