定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆的一个焦点为F（c，0）（c＞0），P...

定义：离心率

的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆 manfen5.com 满分网

的一个焦点为F（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）没E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足 manfen5.com 满分网

？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）已知椭圆E的短轴长是2，点S（0，2），求使 manfen5.com 满分网

取最大值时点P的坐标．

（1）假设E为黄金椭圆，则，所以b2=a2-c2==ac，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．（2）依题假设直线l的方程为y=k（x-c），令x=0，y=-kc，即点R的坐标为（0，-kc），由，点F（c，0），知点P的坐标为（2c，kc），所以点P在椭圆上，由此导出，与k2≥0矛盾．所以，满足题意的直线不存在．（3）依题有b2=1，由点P（x1，y1）在E上知x12=a2（1-y12），所以=x12+（y1-2）2=（1-a2）．由此能求出点P的坐标．【解析】（1）假设E为黄金椭圆，则，即…（1分） ∴b2=a2-c2 = = =ac．…（3分）即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．…（4分）（2）依题假设直线l的方程为y=k（x-c），令x=0，y=-kc，即点R的坐标为（0，-kc）， ∵，点F（c，0）， ∴点P的坐标为（2c，kc）…（6分） ∴点P在椭圆上， ∴． ∵b2=ac，∴4e2+k2e=1，故，与k2≥0矛盾．所以，满足题意的直线不存在．…（9分）（3）依题有b2=1，由点P（x1，y1）在E上知x12=a2（1-y12）， ∴=x12+（y1-2）2 =（1-a2）y12-4y1+（a2+4） =（1-a2）． ∵a＞1， ∴1-a2＜0，又-1≤y1≤1，…（11分） ①当时，， ∴SP2是y1∈[-1，1]的减函数，故y1=-1时，SP2取得最大值，此时点P的坐标是（0，-1）． ②当时，， ∴时，取得最大值，此时点P的坐标是…（14分）

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考点分析：

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