已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1=2，nan+1=Sn+n（n+1...

（1）令n=1，可求出a2，根据nan+1=Sn+n（n+1）可得当n≥2时，有（n-1）an=Sn-1+n（n-1），两式相减可an+1-an=2，验证当n=1时，是否成立，从而得到数列{an}是等差数列，从而求出{an}的通项公式； （2）由（1）得Sn，从而求出Tn，然后求出Tn+1与Tn-1，然后求出满足的n，从而可知求出正整数m对一切正整数n，总有Tn≤Tm． 【解析】 （1）令n=1，由a1=2及nan+1=Sn+n（n+1）① 得a2=4，故a2-a1=2，当n≥2时，有（n-1）an=Sn-1+n（n-1）② ①-②得：nan+1-（n-1）an=an+2n 整理得，an+1-an=2（n≥2） 当n=1时，a2-a1=2， 所以数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列， 故an=2n…（6分） （2）由（1）得Sn=n（n+1）， 所以． 故， 令，即 解得8≤n≤9． 故T1＜T2＜…＜T8=T9＞T10＞T11＞… 故存在正整数m对一切正整数n， 总有Tn≤Tm，此时m=8或m=9…..（13分）