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设数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*). (1)...

设数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=n2an,求数列{bn}的前n项和Sn
(1)根据题意,可得a1+2a2+3a3++(n-1)an-1=2n-1,两者相减,可得数列{an}的通项公式. (2)根据题意,求出bn的通项公式,继而求出数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】 (1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n①, ∴n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1② ①-②得nan=2n-1,an=(n≥2),在①中令n=1得a1=2, ∴an= (2)∵bn=. 则当n=1时,S1=2 ∴当n≥2时,Sn=2+2×2+3×22+…+n×2n-1 则2Sn=4+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n 相减得Sn=n•2n-(2+22+23+…+2n-1)=(n-1)2n+2(n≥2) 又S1=2,符合Sn的形式, ∴Sn=(n-1)•2n+2(n∈N*)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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