已知向量，当x＞0时，定义函数．（1）求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x...

已知向量

，当x＞0时，定义函数 manfen5.com 满分网

．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，则：
①当a=1时，证明： manfen5.com 满分网

；
②对任意θ∈[0，2π]，当2asinθ-2a+S_n≠0时，
证明： manfen5.com 满分网

或

．

（1）由题意得，令x=tanα，则，函数f（x）的值域为（0，1）．由此能求出原函数的反函数．（2）因为a1=a＞0，an+1=f（an），n∈N*，所以． ①【法一】三角代换：令an=tanαn，因为an＞0，且a1=1所以，所以，由此能够证明．【法二】不等式放缩：因为an+1=f（an），所以an=f-1（an+1），故，又由原函数的值域知an+1∈（0，1），所以，则，由此能够证明． ②【法一】，所以=．由Sn＜2a，能够证明证明或．【法二】因为an+1=f（an），所以an=f-1（an+1），所以，从而．由Sn＜2a，能够证明证明或．【解析】由题意得（x＞0）令x=tanα，则由于，所以，即函数f（x）的值域为（0，1）（1）由y2-2xy+x2=y2+y2x2 于是解得，所以原函数的反函数（0＜x＜1）（2）因为a1=a＞0，an+1=f（an），n∈N*，所以 ①【法一】三角代换令an=tanαn，因为an＞0，且a1=1所以所以由于，所以故数列{αn}为等比数列，其首项为，公比为，所以于是，此处用到不等式x＜tanx 【法二】不等式放缩因为an+1=f（an），所以an=f-1（an+1）所以，又由原函数的值域知an+1∈（0，1）所以，则进而，所以于是 ②【法一】，所以= 由Sn＜2a，则易得，又Sn＞0 则要证或等价于证明化简等价于，此式在0＜Sn＜2a的条件下成立；【法二】因为an+1=f（an），所以an=f-1（an+1）所以，从而从而Sn＜2a．则易得，又Sn＞0 则要证或等价于证明化简等价于，此式在0＜Sn＜2a的条件下成立；

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考点分析：

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（2）若不等式 manfen5.com 满分网