已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f=f...

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁，x₂都有f=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x²-1）＜2．

（1）根据题意和式子的特点，先令x1=x2=-1求出f（-1）=0，再令x1=-1，x2=x求出f（-x）=f（x），则证出此函数为偶函数；（2）先任取x2＞x1＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用x2=和且＞0，判断符号并得出结论；（3）根据题意和（1）的结论，把不等式转化为f（|2x2-1|）＜f（4），再由（2）的结论知|2x2-1|＜4，故解此不等式即可．【解析】（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=-1，代入上式解得f（-1）=0，令x1=-1，x2=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）， ∴f（x）是偶函数．（2）设x2＞x1＞0，则= ∵x2＞x1＞0，∴，∴＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1） ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2， ∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x2-1）＜2可化为f（|2x2-1|）＜f（4），又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x2-1|＜4，且2x2-1≠0，即-4＜2x2-1＜4，且2x2≠1解得：，且x≠，即不等式的解集为{x|，且x≠}．

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考点分析：

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已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为为实数），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围．

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记函数f（x）=

的定义域为A，g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]（a＜1）的定义域为B．
（1）求A；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

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下列命题中
①对于每一个实数x，f（x）是y=2-x²和y=x这两个函数中的较小者，则f（x）的最大值是1．
②已知x₁是方程x+lgx=3的根，x₂是方程x+10^x=3的根，则x₁+x₂=3．
③函数f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-1，2a]，则f（x）的图象是以（0，1）为顶点，开口向下的抛物线．
④若集合P={x|x=3m+1，m∈N⁺}，Q={x|x=5n+2，n∈N⁺}，则P∩Q={x|x=15m-8，m∈N⁺}
⑤若函数f（x）在（-∞，+∞）上递增，且a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
其中正确的命题的序号是．查看答案

偶函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，则y=f（x）的解析式为．查看答案

已知函数f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值为．查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等