已知函数．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若曲线y=f（x）上两点A、...

已知函数

．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

（1）先对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减进行讨论．（2）由题意可值点AB应是函数f（x）的极值点，再根据线段AB与x轴有公共点可知以，从而得到答案．【解析】（Ⅰ）由题设知．令．当（i）a＞0时，若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，所以f（x）在区间上是增函数；若，则f'（x）＜0，所以f（x）在区间上是减函数；若，则f'（x）＞0，所以f（x）在区间上是增函数；（ii）当a＜0时，若，则f'（x）＜0，所以f（x）在区间上是减函数；若，则f'（x）＜0，所以f（x）在区间上是减函数；若，则f'（x）＞0，所以f（x）在区间上是增函数；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数y=f（x）在处分别是取得极值，．因为线段AB与x轴有公共点，所以．即．所以．故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0．解得-1≤a＜0或3≤a≤4．即所求实数a的取值范围是[-1，0）∪[3，4]．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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