已知曲线C：f（x）=x2，C上的点A，An的横坐标分别为1和an（n∈N*），...

（1）由线在点Pn的切线与直线AAn平行，知，由xn+1=tf（xn+1-1）+1，得xn+1-1=t（xn-1）2，由此能够证明{logt（xn-1）+1}是等比数列． （2）由logt（xn-1）+1=（logt2+1）•2n-1，得．从而，由Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立，得an+1＜an，由此能求出t的取值范围． （3）当时，，所以，由此能够比较比较Sn与n+7的大小． 【解析】 （1）∵由线在点Pn的切线与直线AAn平行， ∴，即， 由xn+1=tf（xn+1-1）+1，得xn+1-1=t（xn-1）2， ∴logt（xn+1-1）=1+2logt（xn-1）， 即logt（xn+1-1）+1=2[logt（xn-1）+1]， ∴{logt（xn-1）+1}是首项为logt2+1，公比为2的等比数列． （2）由（1）得logt（xn-1）+1=（logt2+1）•2n-1， ∴． 从而， 由Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立， 得an+1＜an， 即， ∴0＜2t＜1， 即． （3）当时，， ∴， 当n≤3时，2n-1≤n+1； 当n≥4时，2n-1＞n+1， ∴当n≤3时，＜n+7． 当n≥4时，Sn＜ = ＜n+7． 综上所述，对任意的n∈N*，都有Sn＜n+7．