在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F...

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．
（ I）求二面角C-DE-C₁的正切值；（ II）求直线EC₁与FD₁所成的余弦值．

（ I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，写出要用的点的坐标，设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果．（ II）把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．【解析】（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）于是，=（-4，2，2）设向量与平面C1DE垂直，则有cosβ=z ∴（-1，-1，2），其中z＞0 取DE垂直的向量， ∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直， ∴的平面角 ∵cosθ= ∴tanθ= （II）设EC1与FD1所成角为β，则cosβ=

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等