若直线l：x+my+c=0与抛物线y2=2x交于A、B两点，O点是坐标原点．（...

若直线l：x+my+c=0与抛物线y²=2x交于A、B两点，O点是坐标原点．
（1）当m=-1，c=-2时，求证：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标．
（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得y2+2my+2c=0，y1+y2=-2m y1y2=2c，x1+x2=2m2-2c x1x2=c2，（1）当m=-1，c=-2时，要证OA⊥OB．只要证x1x2+y1y2=0 即可（2）当OA⊥OB时，x1x2+y1y2=0 可求c，此时可求直线l：x+my-2=0及过的定点（3）要判断△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系，只要判断圆心到准线的距离与半径的大小即可【解析】设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得y2+2my+2c=0 可知y1+y2=-2m y1y2=2c，= ∴x1+x2=2m2-2c，= （1）当m=-1，c=-2时，x1x2+y1y2=0 所以OA⊥OB．（2）当OA⊥OB时，x1x2+y1y2=0 于是c2+2c=0 ∴c=-2（c=0不合题意），此时，直线l：x+my-2=0（3）过定点（2，0）．（3）由（2）OA⊥OB，知c=-2 由题意AB的中点D（就是△OAB外接圆圆心）到原点的距离就是外接圆的半径．D（m2-c，-m）而（m2-c+）2-[（m2-c）2+m2]== ∴圆心到准线的距离大于半径，故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离

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考点分析：

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