在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足...

（1）由向量等式，得点C的坐标，消去参数即得点C的轨迹方程； （2）将直线与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出x1x2+y1y2，再结合向量的垂直关系得到关于a，b的关系，化简即得结论． （3）由（2）得从而又e得出．解得双曲线实轴长2a的取值范围即可． 【解析】 （1）设C（x，y），∵ ∴（x，y）=m（1，0）+n（0，-2）． ∴∵m-2n=1， ∴x+y=1 即点C的轨迹方程为x+y=1（15分） （2）由得（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0 由题意得（8分） 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则 ∵以MN为直径的圆过原点，∴．即x1x2+y1y2=0． ∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2 =．即b2-a2-2a2b2=0． ∴为定值．（14分） （3）∵ ∴ ∵e∴． ∴ 解得：0＜a≤，0＜2a≤1 ∴双曲线实轴长的取值范围是（0，1]．