已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）．（1）若f'（-1）=0，...

已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f'（-1）=0，求函数y=f（x）在[- manfen5.com 满分网

，1]上的最大值和最小值；
（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．

（1）利用f'（-1）=0，可求得函数解析式，进而可研究函数的单调性，从而确定极值，进而可知最值；（2）根据切线与横轴平行，对函数求导，使得到函数等于0有实根，得到关于一元二次方程的判别式，求出结果．【解析】（1）∵f'（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2． …（2分） ∴．由f'（x）＞0，得x＜-1或； …（4分）由f'（x）＜0，得．因此，函数f（x）的单调增区间为，；单调减区间为． …（6分） f（x）在x=-1取得极大值为f（-1）=2；f（x）在取得极小值为．由∵，f（1）=6且 ∴f（x）在[-，1]上的最大值为f（1）=6，最小值为． …（8分）（2）∵f（x）=x3+ax2+x+a，∴f'（x）=3x2+2ax+1． ∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解． …（10分） ∴△=4a2-4×3×1≥0，∴a2≥3，即．因此，所求实数a的取值范围是． …（12分）

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考点分析：

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．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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