已知a＞0，函数f（x）=+lnx． （Ⅰ）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调...

（Ⅰ）先求出f’（x），利用它是单调增函数，得含参的不等式然后利用恒成立问题求得a的范围． （Ⅱ）将a的值代入得f（x）的表达式，然后用求导的方法判断其单调性，从而求出函数f（x）的最小值． （Ⅲ）先构造两个不等式，并给出证明，然后将x=1，2，…，n-1代入不等式，化简即证． 【解析】 （1）∵若f（x）在x∈[1，+∞）是单调递增函数， 则． 即，∵x∈[1，+∞），∴，∴a≥1 （Ⅱ）当a=时，， 由f'（x）＜0，得0＜x＜2；由f'（x）＞0，得x＞2 ∴f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数． ∴f（x）min=f（2）=ln2-1 （Ⅲ）当a=1 时，由（Ⅱ）知；在[1，+∞）上为增函数， ∵ 又∵当x＞1时，f（x）＞f（1），∴ 令 从而可以知道，函数g（x）在[1，+∞）上是递增函数， 所以有g（x）＞g（1）=0，即得x-1＞lnx． 综上有：1-， ∴； 令x=1，2，…，n-1，（n∈N*，且n≥2）时，不等式也成立，于是代入， 将所得各不等式相加，得 ， 即． 即∴