已知x=3是函数f（x）=（x2+ax-2a-3）e3-x的极值点． （1）求f...

（1）先求导函数，利用x=3是函数f（x）的极值点，可得-（a+1）≠3即a≠-4，进而分a＞-4与a＜-4，分类讨论，研究函数的单调性； （2）分别求出gmin（x）与fmax（x），再将问题等价转化为：若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜3，只要gmin（x）-fmax（x）＜3即可，从而解不等式，即可求出a的取值范围． 【解析】 （1）f′（x）=（2x+a）e3-x+（x2+ax-2a-3）（-1）e3-x =[-x2+（2-a）x+3a+3]e3-x=-[x2+（a-2）x-3（a+1）]e3-x =-（x-3）[x+（a+1）]e3-x…（3分） ∵x=3是函数f（x）的极值点 ∴-（a+1）≠3即a≠-4 （i）当-（a+1）＜3即a＞-4时 当x∈（-∞，-a-1]和[3，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减 当x∈（-a-1，3）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（5分） （ii）当-（a+1）＞3即a＜-4时 当x∈（-∞，3]和[-a-1，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减 当x∈（3，-a-1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（7分） （2）∵a＞0，∴-（a+1）＜0 ∴当x∈[0，3]时f（x）单调递增，当x∈[3，4]时f（x）单调递减 ∴当x∈[0，4]时，fmax（x）=f（3）=a+6…（9分） ∵g（x）=（a2+8）ex在x∈[0，4]时是增函数，gmin（x）=g（0）=a2+8…（11分） 又∵ ∴gmin（x）＞fmax（x），∴当x∈[0，4]时，g（x）＞f（x）恒成立． ∴若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜3 只要gmin（x）-fmax（x）＜3即可…（14分） 即 所以a的取值范围为．…（15分）