已知函数f（x）=-x3+ax2-4，a∈R． （I）当a=3时，求f（x）在区...

（1）当a等于3时求出函数的导数根据导数求出函数的极值，再求出端点值，比较极值和端点值的大小求得最值 （2）求出函数的导数，讨论a的取值范围，观察是否满足存在x∈（0，+∞），使得f（x）＞0，最后得出a的取值范围， 【解析】 （Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x3+3x2-4，f¢（x）=-3x2+6x=-3x（x-2）． 当x变化时，f¢（x）、f（x）在区间的变化如下表： x -1 （-1，0） （0，1） 1 f¢（x） - + f（x） ↘ 极小值-4 ↗ -2 所以f（x）在区间上的最大值为f（-1）=0，最小值为f（0）=-4．（5分） （Ⅱ）f¢（x）=-3x2+2ax=-3x（x-）． 若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f¢（x）＜0，此时f（x）单调递减，而f（x）＜f（0）=-4，不存在使题设成立的x． 若a＞0，则当x∈（0，）时，f¢（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f¢（x）＜0，此时f（x）单调递减．f（x）在（0，+∞）的最大值为f（）=-4．所以题设的x存在当且仅当 -4＞0，解得a＞3． 综上，使题设成立的a的取值范围是（3，+∞）．