已知x+2y+3z=1，则x2+y2+z2取最小值时，x+y+z的值为 ．

由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32），故x2+y2+z2≥，当且仅当 取等号，此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，由此能求出x+y+z的值． 【解析】 由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32） 故x2+y2+z2≥，当且仅当 取等号， 此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1， ∴x=，y=，x=， x+y+z=． 故答案为：．