已知A、B两点在抛物线C：x2=4y上，点M（0，4）满足=λ． （1）求证：⊥...

先设A，B的坐标和直线AB的方程，再联立直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程得到两根之和与两根之积． （1）根据向量的数量积运算表示出•，然后将所求的两根之和与两根之积代入即可得到：•=0，进而的得证． （2）①先表示出过点A的切线和过点B的切线，然后两直线联立可求出点N的坐标，即可得到点N在定直线y=-4上． ②根据=λ可知（x1，y1-4）=λ（-x2，4-y2），进而可联立方程可求得k2的表达式，进而求得k2的范围，最后根据直线MN在x轴的截距为k，进而可得答案． 【解析】 设A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y=kx+4与x2=4y联立得x2-4kx-16=0， △=（-4k）2-4（-16）=16k2+64＞0， x1+x2=4k，x1x2=-16， （1）证明：• =x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+4）（kx2+4） =（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16 =（1+k2）（-16）+4k（4k）+16=0， ∴⊥． （2）①证明：过点A的切线： y=x1（x-x1）+y1=x1x-x12，① 过点B的切线：y=x2x-x22，② 联立①②结合（1）的结论得点N（，-4）， 所以点N在定直线y=-4上． ②∵=λ，∴（x1，y1-4）=λ（-x2，4-y2）， 联立可得 k2===λ+-2，4≤λ≤9， ∴≤k2≤． 直线MN：y=x+4在x轴的截距为k， ∴直线MN在x轴上截距的取值范围是 [-，-]∪[，]．