已知函数f（x）= （1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的...

（1）根据函数单调性的定义说明，设x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，然后判定f（x1）-f（x2）的符号，即可得到函数的单调性； （2）先用分离常数法把函数分离，再分 和1的大小进行讨论，并利用函数的单调性来求f（x）的最小值，即可求得实数a的取值范围． 【解析】 （1）当a＜0时，设x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2 f（x1）-f（x2）=- = ∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，a＜0 ∴f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2） 所以函数f（x）在[1，+∞）上为增函数  …（6分） （2）函数f（x）=x++2在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数． 若 ＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）min=f（ ）=2 +2． 若 ≤1，即0＜a≤1时， f（x）在区间[1，+∞）上是增函数， ∴f（x）min=f（1）=a+3． 而不等式f（x）＞0恒成立，说明a+3＞0，得a＞-3 求实数a的取值范围（-3，+∞）．