已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2...

（1）由“左焦点为，右顶点为D（2，0）”得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程． （2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x，y），由中点坐标公式，分别求得x，y，代入椭圆方程，可求得线段PA中点M的轨迹方程． （3）分直线BC垂直于x轴时和直线BC不垂直于x轴两种情况分析，求得弦长|BC|，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值． 【解析】 （1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1． 又椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为 （2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x，y）， 由得 由，点P在椭圆上，得， ∴线段PA中点M的轨迹方程是． （3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2， 因此△ABC的面积S△ABC=1． 当直线BC不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx，代入， 解得B（，），C（-，-）， 则，又点A到直线BC的距离d=， ∴△ABC的面积S△ABC= 于是S△ABC= 由≥-1，得S△ABC≤，其中，当k=-时，等号成立． ∴S△ABC的最大值是．