数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）． （Ⅰ）求...

（I）利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为an+1与an之间的关系，从而确定数列an的通项； （II）由（I）可知数列an从第二项开始的等比数列，设bn=n则数列bn为等差数列，所以对数列n•an的求和应用乘“公比”错位相减． 【解析】 （I）∵an+1=2Sn， ∴Sn+1-Sn=2Sn， ∴=3． 又∵S1=a1=1， ∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1（n∈N*）． ∴当n≥2时，an-2Sn-1=2•3n-2（n≥2）， ∴an= （II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan， 当n=1时，T1=1； 当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1，② ①-②得：-2Tn=-2+4+2（31+32+…+3n-2）-2n•3n-1=2+2•=-1+（1-2n）•3n-1 ∴Tn=+（n-）3n-1（n≥2）． 又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n-）3n-1（n∈N*）