已知函数f（x）=在x=1处取得极值2． （1）求函数f（x）的解析式； （2）...

（1）由f（x）=，知．由函数f（x）在x=1处取得极值2，得由此能求出． （2）由．列表讨论得到的单调增区间为[-1，1]．由此能求出函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增时实数m的条件． （3）当m≤-1时，由（2）得f（x）在（-∞，m]单调递减，要使f（x）≥m恒成立，必须；当-1＜m＜1时，由（2）得f（x）在（-∞，-1）单调递减，在（-1，m]单调递增， 要使f（x）≥m恒成立，必须f（x）min=f（-1）=-2≥m．由此能求出满足条件的m的取值范围． 【解析】 （1）已知函数f（x）=， ∴．…（2分） 又函数f（x）在x=1处取得极值2， ∴， 即， ∴．…（4分） （2）由．…（5分） x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞） f'（x） - + - f（x） 单调递减 极小值-2 单调递增 极大值2 单调递减 所以的单调增区间为[-1，1]．…（7分） 若（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间， 则有， 解得-1＜m≤0． 即m∈（-1，0]时，（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间．…（9分） （3）分两种情况讨论如下： ①当m≤-1时，由（2）得f（x）在（-∞，m]单调递减， 要使f（x）≥m恒成立， 必须，…（10分） 因为m≤-1， ∴…（12分） ②当-1＜m＜1时， 由（2）得f（x）在（-∞，-1）单调递减，在（-1，m]单调递增， 要使f（x）≥m恒成立， 必须f（x）min=f（-1）=-2≥m， 故此时不存在这样的m值． 综合①②得：满足条件的m的取值范围是．         …（14分）