已知函数（a∈R）． （1）当a=-3时，求函数f（x）的极值； （2）设g（x...

（1）当a=-3时，求出导函数f′（x）的零点，然后判断导数在零点两侧的符号，由此可得极值情况； （2）g（x）在区间（-1，1）有极值，即g′（x）=0在（-1，1）内有解，且在解的两侧导数异号； （3）函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，即函数f（x）只有一个零点，用导数研究函数f（x）的单调性、极值，由零点存在的条件可得关于a的约束条件，由此可求其范围． 【解析】 （1）当a=-3时，， ∴f'（x）=x2-2x-3=（x-3）（x+1）．令f'（x）=0，得 x1=-1，x2=3． 当x＜-1时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，-1）上单调递增； 当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（-1，3）上单调递减； 当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增； ∴当x=-1时，f（x）取得极大值为：f（-1）=； 当x=3时，f（x）取得极小值为：=-6． （2）∵ 问题转化为方程g′（x）=0在区间（-1，1）内有解， ∴g′（-1）•g′（1）＜0或， 解得a＜-1或a＞， 故a的取值范围为：（-∞，-1）∪（，+∞）． （3）∵f'（x）=x2-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）． ①若a≥1，则△≤0，∴f'（x）≥0在R上恒成立， ∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0， ∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． ②若a＜1，则△＞0， ∴f'（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1＜x2）． ∴x1+x2=2，x1x2=a． 当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下表： x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） f'（x） + - + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∵， ∴．∴===， 同理f（x2）=． ∴= ==． 令f（x1）•f（x2）＞0，解得a＞0． 而当0＜a＜1时，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0， 故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．