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设函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),(n∈N*). (1)证明:f(x)...

设函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),manfen5.com 满分网(n∈N*).
(1)证明:f(x)≥g1(x);
(2)当x>0时,比较f(x)与gn(x)的大小,并说明理由;
(3)证明:manfen5.com 满分网(n∈N*).
(1)设,可得函数φ1(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,在x=0处取得唯一极小值,从而可得对任意实数x均有 φ1(x)≥φ1(0)=0,即可得到结论; (2)当x>0时,f(x)>gn(x),用数学归纳法证明,第2步证明的关键是证明φk+1(x)=f(x)-gk+1(x)在(0,+∞)上为增函数; (3)先证对任意正整数n,gn(1)<e,再证对任意正整数n,=,利用分析法、再利用数学归纳法和基本不等式法可以证明结论. (1)证明:设, 所以.…(1分) 当x<0时,,当x=0时,,当x>0时,. 即函数φ1(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,在x=0处取得唯一极小值,…(2分) 因为φ1(0)=0,所以对任意实数x均有 φ1(x)≥φ1(0)=0. 即f(x)-g1(x)≥0, 所以f(x)≥g1(x).…(3分) (2)【解析】 当x>0时,f(x)>gn(x).…(4分) 用数学归纳法证明如下: ①当n=1时,由(1)知f(x)>g1(x). ②假设当n=k(k∈N*)时,对任意x>0均有f(x)>gk(x),…(5分) 令φk(x)=f(x)-gk(x),φk+1(x)=f(x)-gk+1(x), 因为对任意的正实数x,, 由归纳假设知,.…(6分) 即φk+1(x)=f(x)-gk+1(x)在(0,+∞)上为增函数,亦即φk+1(x)>φk+1(0), 因为φk+1(0)=0,所以φk+1(x)>0. 从而对任意x>0,有f(x)-gk+1(x)>0. 即对任意x>0,有f(x)>gk+1(x). 这就是说,当n=k+1时,对任意x>0,也有f(x)>gk+1(x). 由①、②知,当x>0时,都有f(x)>gn(x).…(8分) (3)证明:先证对任意正整数n,gn(1)<e. 由(2)知,当x>0时,对任意正整数n,都有f(x)>gn(x). 令x=1,得gn(1)<f(1)=e. 所以gn(1)<e.…(9分) 再证对任意正整数n,=. 要证明上式,只需证明对任意正整数n,不等式成立. 即要证明对任意正整数n,不等式(*)成立.…(10分) 以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*): 方法1(数学归纳法): ①当n=1时,成立,所以不等式(*)成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,不等式(*)成立, 即.…(11分) 则. 因为,…(12分) 所以.…(13分) 这说明当n=k+1时,不等式(*)也成立. 由①、②知,对任意正整数n,不等式(*)都成立. 综上可知,对任意正整数n,不等式成立. …(14分) 方法2(基本不等式法): 因为,…(11分), …,, 将以上n个不等式相乘,得.…(13分) 所以对任意正整数n,不等式(*)都成立. 综上可知,对任意正整数n,不等式成立. …(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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