过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F...

（1）根据双曲线的标准方程，确定焦点坐标，进而可得直线AB的方程，与双曲线联立，利用韦达定理，可计算|AB|； （2）求出原点O到直线AB的距离，即可求得△AOB的面积； （3）利用双曲线的定义，即可证得结论． （1）【解析】 由双曲线的方程得a=，b=， ∴c==3，F1（-3，0），F2（3，0）． ∴直线AB的方程为y=（x-3）． 设A（x1，y1），B（x2，y2），由得5x2+6x-27=0． ∴x1+x2=-，x1x2=-． ∴|AB|=|x1-x2|=•= （2）【解析】 直线AB的方程变形为x-3y-3=0． ∴原点O到直线AB的距离为d==． ∴S△AOB=|AB|•d=××=．…（8分） （3）证明：如图，由双曲线的定义得 |AF2|-|AF1|=2，|BF1|-|BF2|=2， ∴|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|…（12分）