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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=ex(x+1),给出...

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=ex(x+1),给出下列命题:
①当x>0时,f(x)=ex(1-x);
②f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞);
③函数f(x)有2个零点;
④∀x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2,
其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
逐个验证:①为函数对称区间的解析式的求解;②为不等式的求解,分段来解,然后去并集即可;③涉及函数的零点,分段来解即可,注意原点;④实际上是求函数的取值范围,综合利用导数和极值以及特殊点,画出函数的图象可得范围. 【解析】 设x>0,则-x<0,故f(-x)=e-x(-x+1),又f(x)是定义在R上的奇函数,故f(-x)=-f(x)=e-x(-x+1),所以f(x)=e-x(x-1),故①错误; 因为当x<0时,由f(x)=ex(x+1)>0,解得-1<x<0,当x>0时,由f(x)=e-x(x-1)>0,解得x>1,故f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞),故②正确; 令ex(x+1)=0可解得x=-1,当e-x(x-1)=0时,可解得x=1,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,故有f(0)=0,故函数的零点由3个,故③错误; ④∀x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2,正确,因为当x>0时f(x)=e-x(x-1),图象过点(1,0),又f′(x)=e-x(2-x), 可知当0<x<2时,f′(x)>0,当x>2时,,f′(x)<0,故函数在x=2处取到极大值f(2)=,且当x趋向于0时,函数值趋向于-1, 当当x趋向于+∞时,函数值趋向于0, 由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f(x)的图象, 可得函数-1<f(x)<1,故有|f(x1)-f(x2)|<2成立. 综上可得正确的命题为②④, 故选B
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