已知函数在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R． （1）求θ的值；...

（1）由题意可知．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，结合θ∈（0，π），可以得到θ的值． （2）由题设条件知．mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知，由此可知m的取值范围． （3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），．由此入手可以得到m的取值范围是． 【解析】 （1）由题意，≥0在[1，+∞）上恒成立，即． ∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1-1≥0， 即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得． （2）由（1），得f（x）-g（x）=． ∴． ∵f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数， ∴mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2-2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即， 而，（）max=1，∴m≥1．mx2-2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即 在[1，+∞）恒成立，而∈（0，1]，m≤0． 综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）． （3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），． 当m≤0时，x∈[1，e]，，， 所以在[1，e]上不存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立． 当m＞0时，． 因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx2+m＞0， 所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立． 故F（x）在[1，e]上单调递增，，只要， 解得． 故m的取值范围是．