已知函数f（x）=x2+ln（x-a）（a∈R）． （1）若f（x）有两个不同的...

（1）f（x）有两个不同的极值点⇔f′（x）=0在定义域内有不同的两个实数根． （2）当a≤-2时，由（1）可知a＜x1＜-1＜x2＜0．及f（x）在[-1，x2]与[x2，0]上的单调性可得：f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）和f（0）中的最大的那一个． （3）利用（2）的结论可得：=．把n依次取n，n-1，…1得到n个不等式，再相加即可得到．或利用上下归纳法也可证明． 【解析】 （1）法一：∵f（x）=x2+ln（x-a）（a∈R），∴x＞a， ∴=（x＞a）． 令g（x）=2x2-2ax+1，△=4a2-8=4（a2-2）． 当△＞0时，得或a． 若a，则f′（x）＞0在x＞a时恒成立，此时函数f（x）无极值点； 若，设g（x）=2x2-2ax+1=0的两根为x1，x2，且x1＜x2． ∵，∴a＜x1＜x2，若下表： ∴当时，函数f（x）由两个极值点． 法二：=（x＞a）． 设g（x）=2x2-2ax+1，f（x）由两个极值点⇔g（x）=0由两个大于a的不等实数根x1，x2（x1＜x2）． ∴，解得，∴当时，函数f（x）由两个极值点． （2）当a≤-2时，由（1）知，∴a＜x1＜-1＜x2＜0． ∴f（x）在[-1，x2]上为减函数，而在[x2，0]上为增函数， ∴f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）和f（0）中的最大的那一个． ∵f（-1）=1+ln（-1-a），f（0）=ln（-a）． 设h（a）=f（-1）-f（0）==． ∵a≤-2，∴，∴，故h（a）＞0． ∴最大值为f（-1）． 即g（a）=f（-1）=1+ln（-1-a）（a≤-2）． （3）由（2）可知：当a=-2时，f（x）=x2+ln（x+2）有最大值f（-1）=1+ln（-1+2）=1． 取，n∈N+．则． 即=． 法一：由=， 把n依次取n，n-1，…1得到n个不等式，再相加得： ln（n+1） ≤=． ∴． 即． 法二：用数学归纳法证明： ①当n=1时，易知成立． 假设n=k时，不等式成立，即，（k∈N+）成立． 当n=k+1时， = = ＜ ＜0（由归纳假设及． 所以当n=k+1时不等式也成立． 故得证．