已知数列{an}中，a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）． （1...

（1）由题设知a2=6，a3=12，an-an-1=2n，an-1-an-2=2（n-1），…，a3-a2=2×3，a2-a1=2×2，所以an-a1=2[n+（n-1）+…+3+2]，由此可知数列{an}的通项公式为an=n（n+1）． （2）由题设条件可推出=，令，则，当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故f（x）min=f（1）=3，， 要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，则须使，即t2-2mt＞0，对∀m∈[-1，1]恒成立，由此可知实数t的取值范围． 【解析】 （1）∵a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）∴a2=6，a3=12（2分） 当n≥2时，an-an-1=2n，an-1-an-2=2（n-1），…，a3-a2=2×3，a2-a1=2×2， ∴an-a1=2[n+（n-1）+…+3+2]， ∴（5分） 当n=1时，a1=1×（1+1）=2也满足上式， ∴数列{an}的通项公式为an=n（n+1）（6分） （2）==（8分） 令，则，当x≥1时，f'（x）＞0恒成立 ∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）min=f（1）=3 即当n=1时，（11分） 要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立， 则须使， 即t2-2mt＞0， 对∀m∈[-1，1]恒成立， ∴， ∴实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）（14分）