已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2． （Ⅰ）如果函数g（x）...

（Ⅰ）g′（x）=3x′+2ax-1，由题意g（x）在x=1处取得极值，由此能求出a的值． （Ⅱ）由g′（x）=3x2-2x-1，知g（x）=x3-x2-x+2，g（-1）=1．故点P（-1，1）处的切线斜率k=g′（-1）=4，由此能求出函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程． （Ⅲ）2f（x）≤g′（x）+2．即2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立．由此能求出实数a的取值范围． 【解析】 （Ⅰ）g′（x）=3x′+2ax-1，由题意g（x）在x=1处取得极值， 将x=1代入方程3x2+2ax-1=0，得a=-1．…（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2-2x-1， g（x）=x3-x2-x+2，g（-1）=1． ∴g′（-1）=4， ∴点P（-1，1）处的切线斜率k=g′（-1）=4， 函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程为： y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．…（8分） （Ⅲ）2f（x）≤g′（x）+2． 即2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立． 可得a≥lnx-对x∈（0，+∞）上恒成立． 设h（x）=lnx-x-，则=-． 令h′（x）=0，得x=1，x=-（舍）． 当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0． ∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2，∴a≥-2 ∴a的取值范围是[-2，+∞）．…（13分）