定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件： ①f（x）...

（Ⅰ）求出f′（x）=3ax2+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函数的奇偶性和切线方程能够求出函数y=f（x）的解析式． （Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1，由此入手，结合题设条件，能够求出实数m的取值范围． 【解析】 （Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx+c ∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数， ∴f′（1）=3a+2b+c=0…①…（1分） 由f′（x）是偶函数得：b=0②…（2分） 又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f′（0）=c=-1③…（3分） 由①②③得：， 即…（4分） （Ⅱ）由已知得： 若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1 设h（x）=4lnx-x2+1 m＞hmin，对h（x）求导，导数在（0，）大于零，（，e）小于零，即h（x）先递增再递减， 当x=．m取最大值+∞，x=e 时，m取最小值5-e2． ∴实数m的取值范围是（5-e2，+∞）．