已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨...

已知函数

，（其中常数m＞0）
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．【解析】（1）当m=2时，（x＞0）令f'（x）＜0，可得或x＞2；令f'（x）＞0，可得， ∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递减故（2）（x＞0，m＞0） ①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m）∪时，f′（x）＜0；x∈（m，）时，f'（x）＞0 此时f（x）在（0，m），上单调递减，在（m，）单调递增； ②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减； ③当m＞1时，则，故∪（m，1）时，f'（x）＜0；时，f'（x）＞0 此时f（x）在，（m，1）上单调递减，在单调递增（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即 ⇒ ∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，又x1，x2，m＞0 ∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立令，则对m∈[3，+∞）恒成立 ∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴ 故从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“” ∴x1+x2的取值范围为

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考点分析：

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