已知函数f（x）=x2+lnx． （I）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）...

（I）构造F（x）=x2+lnx-x3，利用导数确定在[1，+∞）上，F（x）＜0，即可得到结论； （II）x＞0时，[f′（x）]n-f′（xn）=，利用二项式定理，结合基本不等式，即可证得结论． 证明：（I）设F（x）=x2+lnx-x3，则， ∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上是减函数． 又F（1）=-＜0，故在[1，+∞）上，F（x）＜0，即x2+lnx＜x3， ∴在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方；---------（6分） （II）∵x＞0，∴[f′（x）]n-f′（xn）=． 当n=1时，不等式显然成立； 当n≥2时，有[f′（x）]n-f′（xn）=++…+ =[++…+] ≥（++…+）=2n-2 ∴[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2（n∈N*）．--------------------（12分）