如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠C=90°，B、C在x轴上且关于...

（1）设双曲线E的方程，利用BD=3DC，△ABC的周长为12，建立方程，即可求得双曲线的方程； （2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在x轴上存在定点G（t，0），再利用根与系数的关系，求出t的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在． 【解析】 （1）设双曲线E的方程为，则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）． 由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a． ∴，解之得a=1，∴． ∴双曲线E的方程为． （2）设在x轴上存在定点G（t，0），使． 设直线l的方程为x-m=ky，M（x1，y1），N（x2，y2）． 由，得y1+λy2=0． 即λ=-① ∵=（4，0），=（x1-t-λx2+λt，y1-λy2） ∴x1-t-λx2+λt=0 ∴x1-t=λ（x2-t） 即ky1+m-t=λ（ky2+m-t）② ①代入②得2ky1y2+（m-t）（y1+y2）=0③ 把x=m+ky代入双曲线，消去x可得（3k2-1）y2+6kmy+3（m2-1）=0 ∴y1+y2=，y1y2= 代入③可得-=0 化简可得kmt=k 当t=时，上式恒成立 因此，在x轴上存在定点G（，0），使．