已知圆心为C的圆方程是x2+y2-2y+m=0 （1）如果圆与直线y=0没有公共...

（1）将圆方程化为标准方程，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，再由圆C与直线y=0没有公共点，得到半径小于圆心的纵坐标的绝对值，又列出关于m的不等式，求出不等式的解集，即可确定出实数m的范围； （2）由圆过原点，将原式坐标代入圆方程求出m的值，确定出圆的方程，进而得出圆心坐标与半径，当a=1时，直线l过圆心C，三角形ABC不存在，故a不能为1，确定出a的范围，由题意可设直线l的方程为y=kx+a，△ABC的面积为S，利用三角形的面积公式表示出S，可得当sin∠ACB最大时，S取得最大值，要使sin∠ACB=1，只需点C到直线l的距离等于，利用点到直线的距离公式列出关系式，根据完全平方式为非负数，求出a的范围，根据a的范围分两种情况考虑，分别根据二次函数的性质及三角函数的性质求出各自k的值，即可确定出k的最大值． 【解析】 （1）由x2+y2-2y+m=0可得：x2+（y-1）2=1-m， ∵x2+（y-1）2=1-m表示圆， ∴1-m＞0，即m＜1， 又∵圆C与直线y=0没有公共点， ∴1-m＜1，即m＞0． 综上，实数m的取值范围是0＜m＜1； （2）∵圆C过坐标原点，∴m=0， ∴圆C的方程为x2+（y-1）2=1，圆心C（0，1），半径为1， 当a=1时，直线l经过圆心C，△ABC不存在，故a∈[0，1）∪（1，2]； 由题意可设直线l的方程为y=kx+a，△ABC的面积为S， 则S=|CA|•|CB|•sin∠ACB=sin∠ACB， ∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值， 要使sin∠ACB=1，只需点C到直线l的距离等于，即=， 整理得k2=2（a-1）2-1≥0， 解得：a≤1-或a≥1+， ①当a∈[0，1-]∪[1+，2]时，sin∠ACB最大值是1， 此时k2=2a2-4a+1，当a=2或a=0时，k取最大值1； ②当a∈（1-，1）∪（1，1+）时，∠ACB∈（，π）， ∵y=sinx是（，π）上的减函数， ∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大， 过C作CD⊥AB于D，则∠ACD=∠ACB， ∴当∠ACD最大时，∠ACB最小， ∵sin∠CAD==|CD|，且∠CAD∈（，π）， ∴当|CD|最大时，sin∠ACD取得最大值，即∠CAD最大， ∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|， ∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k=0， 综上所述，k的最大值是1．