已知椭圆及点，过点M作直线l交椭圆于P，Q两点． （1）若M是弦PQ的中点，求直...

（1）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合M是弦PQ的中点，即可求得结论； （2）A在以PQ为直径的园上，则AP⊥AQ，于是向量的数量积▪=0，由此化简可得结论． （1）【解析】 设过M的直线的方程为y=k（x+）-=kx+ 代入椭圆方程得：x2+3（kx+）2=12；展开化简得： （1+3k2）x2+3k（3k-1）x+=0 即有（1+3k2）x2+3k（3k-1）x+=0 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2= ∵是弦PQ的中点， ∴=-3 ∴k=-1 ∴直线PQ的方程为y=-x-2，即x+y+2=0； （2）证明：设A（m，n），A在椭圆上，其坐标满足椭圆方程，即…（1） 如果A在以PQ为直径的园上，则AP⊥AQ，于是向量的数量积▪=0； 即▪=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m2+y₁y₂-n（y₁+y₂）+n2 =++m2+-+n2=0 去分母得9（3k-5）（k+1）+12mk（3k-1）+4m2（1+3k2）+（-39k2-6k+1）-4n（3k-1）+4n2（1+3k2）=0 化简整理得（12m2+36m+12n2-12）k2-（12m+12n+24）k+4m2+4n2+4n-44=0 12（m2+3m+n2-1）k2-12（m+n+2）k+4（m2+n2+n-11）=0…（2） 令m2+3m+n2-1=0…（3） m+n+2=0…（4） m2+n2+n-11=0…（5） （3）-（5）得3m-n+10=0…（6） （4）+（6）得4m+12=0，故得m=-3；代入（5）式得n=1； 由此可见，当m=-3，n=1时，（2）是恒等式；而（-3，1）满足方程（1），即（-3，1）在椭圆上． 这就证明了无论直线的k为何值，以弦PQ为直径的圆一定过椭圆上的定点A（-3，1）．