如图，正方体ABCD-A1B1C1D1． （1）求二面角A-BD1-C的大小； ...

（1）在平面ABD1内，过A作AE⊥BD1，交BD1于E，连接CE，证明∠AEC为二面角A-BD1-C的平面角，利用余弦定理，可求二面角A-BD1-C的大小； （2）利用等体积，求出BD1与平面ACD1的距离，即可求BD1与平面ACD1所成角的正弦值． 【解析】 （1）在平面ABD1内，过A作AE⊥BD1，交BD1于E，连接CE △AD1B与△CD1B中，AB=BC，AD1=CD1，BD1=BD1，∴△AD1B≌△CD1B， ∴AE=CE ∵AE⊥BD1，∴CE⊥BD1， ∴∠AEC为二面角A-BD1-C的平面角 ∵AB⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴AB⊥AD1，∴△ABD1是Rt△， 设正方体的棱长为1，AD1=，BD1=， 由等面积可得AE•BD1=AD1•AB，∴AE=， 在△AEC中，根据余弦定理，cos∠AEC==- ∴∠AEC=120°，即二面角A-BD1-C的大小为120°； （2）设BD1与平面ACD1所成角为θ，BD1与平面ACD1的距离为h，则 由可得 ∴h= ∵，∴sinθ== ∴BD1与平面ACD1所成角的正弦值为．