已知圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，直线l：y=kx，且l与C相交于P、Q...

已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l：y=kx，且l与C相交于P、Q两点，点M（0，b），且MP⊥MQ．
（Ⅰ）当b=1时，求k的值；
（Ⅱ）当b∈（1， manfen5.com 满分网

），求k的取值范围．

（Ⅰ）当b=1时，点M（0，b）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．把圆心坐标（1，1）代入直线l：y=kx，可得k的值．（Ⅱ）把直线l的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及，求得．令，则f（b）在区间上单调递增，求得，可得，解此不等式求得k的取值范围（注意检验△＞0）．【解析】（Ⅰ）圆C：（x-1）2+（y-1）2=1，当b=1时，点M（0，b）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．…（2分） ∵圆心C的坐标为（1，1），∴k=1．…（4分）（Ⅱ）由，消去y得：（1+k2）x2-2（1+k）x+1=0．① 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， ∴．…（6分） ∵MP⊥MQ，∴． ∴（x1，y1-b）•（x2，y2-b）=0，即 x1x2+（y1-b）（y2-b）=0． ∵y1=kx1，y2=kx2， ∴（kx1-b）（kx2-b）+x1x2=0，即．…（8分） ∴，即．令，则f（b）在区间上单调递增． ∴当时，．…（11分） ∴．即，解得， ∴或．…（13分）由①式得△=[2（1+k）]2-4（1+k2）＞0，解得k＞0． ∴，或． ∴k的取值范围是．…（14分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等