三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1，AA1，BB...

（1）取BC中点O，连接AO，DO，则∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C成角，由此利用题设条件能求出此正三棱柱侧棱CC1长． （2）以OC为x轴，以过O点平行于CC1的直线为y轴，以OA为z轴，建立空间直角坐标系，用向量法能求出二面角A-BD-C的正切值． 【解析】 （1）取BC中点O，连接AO，DO，则∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C成角， ∵三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形， ∴AO==， ∵D是侧棱CC1中点，直线AD与侧面BB1C1C成角为45°， ∴CD==， ∴CC1=2DC=2． （2）以OC为x轴，以过O点平行于CC1的直线为y轴，以OA为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，，0）， ∴，=（1，，-）， 设=（x，y，z）是平面ABD的一个法向量，则=0，， ∴，解得=（，-，-1） 设二面角A-BD-C的平面角为θ， ∵面BCD的一个法向量是=（0，0，）， ∴cosθ=|cos＜，＞|=||=． ∴tanθ=3． 故二面角A-BD-C的正切值为3．