已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足①f（1）=3；②f（x）≥2恒...

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立，③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（1）试求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）试比较f（ manfen5.com 满分网

）与

+2（n∈N）的大小．

（1）（Ⅰ）对于抽象函数的最值问题，可考虑此函数的单调性；（Ⅱ）由题中条件：f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2，令，得，利用它进行放缩，可证得答案．【解析】（1）设0≤x1＜x2≤1，则必存在实数t∈（0，1），使得x2=x1+t，由条件③得，f（x2）=f（x1+t）≥f（x1）+f（t）-2， ∴f（x2）-f（x1）≥f（t）-2，由条件②得，f（x2）-f（x1）≥0，故当0≤x≤1时，有f（0）≤f（x）≤f（1）．又在条件③中，令x1=0，x2=1，得f（1）≥f（1）+f（0）-2，即f（0）≤2，∴f（0）=2，故函数f（x）的最大值为3，最小值为2．（2）在条件③中，令，得，即，故当n∈N*时，有…，即．又，所以对一切n∈N，都有．

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考点分析：

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