根据直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，结合菱形的性质及直四棱柱的几何特征，线面垂直的判定定理，可证得BD⊥平面A1AC，再由线面垂直的性质可得A1C与BD垂直，即夹角为直角．
【解析】
连接AC，
∵直四棱柱的底面ABCD菱形
∴AC⊥BD
又∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD
∴AA1⊥BD
又∵AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面A1AC
∴BD⊥平面A1AC
又∵A1C⊂平面A1AC
∴BD⊥A1C
即A1C与BD所成的角是90°
故选A
