已知函数f（x）=lnx． （1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值； （...

（1）先求出g（x）=ln（x-1）-x（x＞-1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求． （2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围． （3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt-，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞． 【解析】 （1）∵f（x）=lnx， ∴g（x）=f（x+1）-x=ln（x+1）-x，x＞-1， ∴． 当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（-1，0）上单调递增； 当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0． （2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立， ∴在x＞0上恒成立， 进一步转化为， 设h（x）=，则， 当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0， ∴h（x）． 要使f（x）≤ax恒成立，必须a． 另一方面，当x＞0时，x+， 要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2， ∴满足条件的a的取值范围是[，2]． （3）当x1＞x2＞0时，＞等价于． 令t=，设u（t）=lnt-，t＞1 则＞0， ∴u（t）在（1，+∞）上单调递增， ∴u（t）＞u（1）=0， ∴＞．