有甲、乙、丙、丁、戊5位同学； （1）若这5位同学排成一排，则甲不能站在第一位的...

（1）根据题意，甲是特殊元素，优先分析可得甲可以站其他4个位置，共有4种站法，剩余的4人站其他4个位置，由排列数公式可得其余人的站法数目，由分步计数原理计算可得答案； （2）根据题意，分3步来分析，先分析甲、乙，用捆绑法视为1个元素，再将其与戊排在一起，排好后有3个空位，最后用插空法将丙丁分别放进其中2个空位中，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案； （3）根据题意，分2种情况讨论，①、甲单独参加一项比赛，②、甲与其他人共同参加比赛，由分步计数原理分别计算每种情况的参赛方案数目，最后由分类计数原理，将两种情况的参赛方案数目相加即可得答案． 【解析】 （1）根据题意，甲不能站在第一位，则甲可以站其他4个位置，共有4种站法， 剩余的4人站其他4个位置，有A44=24种站法， 则甲不能站在第一位的排法有4×24=96种， （2）根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙视为1个元素，有2种不同的顺序， 将其与戊排在一起，有2种不同的顺序， 排好后有3个空位，将丙丁分别放进其中2个空位中，有A32=6种情况， 则甲乙必须相邻，丙丁必须不相邻的排法有2×2×6=24种； （3）根据题意，若每项比赛至少有一人参加，每名同学必须也只能参加一项比赛，则必须有2人参加同一项比赛， 故分2种情况讨论： ①、甲单独参加一项比赛，由于甲不能参加跳舞比赛，则甲有3种选法， 对于剩余4人，先从中任取2人，有C42=6种取法，将4人分为3组， 将3组对应剩余的三项比赛，有A33=6种方法， 此时共有3×6×6=108种参赛方案， ②、甲与其他人共同参加比赛，甲只能与其余4人中的1人参加比赛， 由于甲不能参加跳舞比赛，则甲有3种选法， 剩余4人参加4项比赛，有A44=24种， 此时共有3×24=72种参赛方案， 则共有108+72=180种参赛方案．