（理科）在平面直角坐标系中，F为抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M为抛物...

（理科）在平面直角坐标系中，F为抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M为抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为 manfen5.com 满分网

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
（3）若点M的横坐标为2，直线l：y=kx+ manfen5.com 满分网

与抛物线C有两个不同的交点A、B，l与圆Q有两个不同的交点D、E，用含k的式子表示 AB²+DE²．

（1）⊙Q过M、F、O三点，结合圆的性质得Q点一定在线段FO的中垂线上，再根据Q到抛物线C的准线的距离，建立方程求得p，从而得到抛物线C的方程；（2）将抛物线化成二次函数，利用导数的几何意义，得到切线方程，从而确定Q的坐标，利用|QM|=|OQ|，即可求出M的坐标；（3）求出⊙Q的方程，利用直线与抛物线方程联立方程组，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出|AB|2．同理求出|DE|2，即可得到|AB|2+|DE|2的表达式．【解析】（1）∵⊙Q过M、F、O三点， ∴Q一定在线段FO的中垂线上， ∵抛物线x2=2py的焦点F（0，），O（0，0） ∴FO的中垂线为：y=，设Q（xQ，yQ），得yQ=，结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为-（-）=，解之得p=1 由此可得，抛物线C的方程为x2=2y；（2）设存在点M（x，），抛物线化成二次函数：y=x2，对函数求导数，得y′=x，得切线MQ：y-=x（x-x），由（1）知，yQ=，所以对MQ方程令y=，得xQ= ∴Q（，），结合|MQ|=|OQ|得 ∴ ∵M为抛物线C上位于第一象限内的任意一点， ∴存在M（，1），使得直线MQ与抛物线C相切于点M；（3）当x=2时，由（2）的Q（，），⊙Q的半径为：r=所以⊙Q的方程为（x-）2+（y-）2=．由，整理得2x2-4kx-1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由于△=16k2+8＞0，x1+x2=2k，x1x2=-，所以|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）（4k2+2）．直线方程代入圆的方程，整理得（1+k2）x2-x-=0，设D，E两点的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），由于△＞0，x3+x4=，x3x4=-．所以|DE|2=（1+k2）[（x3+x4）2-4x3x4]=+，因此|AB|2+|DE|2=（1+k2）（4k2+2）++．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等