已知：圆x2+y2=1过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m...

（Ⅰ）欲求椭圆的方程，只需求出a，b的值，因为圆x2+y2=1过椭圆的两焦点，可求出a，因为圆x2+y2=1与椭圆有且仅有两个公共点，可求出b，椭圆的方程可知． （Ⅱ）因为直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，可把m用k表示，再让直线方程与椭圆方程联立，把λ用k表示，根据λ的范围，就可求出k的范围． （Ⅲ）因为△OAB的面积S=|AB|•d，把|AB|用k表示，d=1，这样，S就可用含k的式子表示了，再把（2）中求出的k的范围代入，就可得到△OAB的面积S的取值范围． 解；（Ⅰ）由题意知，椭圆的焦距2c=2∴c=1 又∵圆x2+y2=1与椭圆有且仅有两个公共点，∴b=1，∴a= ∴圆的方程为 （Ⅱ）∵直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，∴原点O到直线的距离=1，即m2=k2+1 把直线y=kx+m代入椭圆，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0 设A（x1，y1），B（x1，y2），则 =x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 =（1+k2）+m2 ∵，∴，解得，≤k2≤1 ∴k的取值范围是[-1，-]∪[，1]； （Ⅲ）|AB|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1-x2）2 =（1+k2）[-4]=（1+k2）[-] =（1+k2）=2- S△OAB2=|AB|2×1=（） ∵≤k2≤1，∴ ∴，∴ 即≤S△OAB2=≤ ∴≤S△OAB≤ ∴△OAB的面积S的取值范围为[，]