设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），，且当...

设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y）， manfen5.com 满分网

，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范围．

（1）由函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，能求出f（0）．（2）由y=f（x）的定义域为R，f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，令y=-x，能推导出f（x）是奇函数．（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．【解析】（1）∵函数满足f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0． ∴f（0）=0．…3分．（2）∵y=f（x）的定义域为R， f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0， ∴y=-x，得f（-x）+f（x）=f（0）=0， ∴f（x）是奇函数．…6分（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y），，且当x＞0时，f（x）＞0． f（x1）=f（x2）+f（x1-x2），令x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），所以函数单调递增， ∵f（x）+f（2+x）＜2， ∴， ∴x取值范围是（-∞，-）．…12分

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考点分析：

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已知

，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时的x的值．

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已知函数y=

的定义域为R．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m变化时，若y的最小值为f（m），求函数f（m）的值域．

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（3）若f（x）在（-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围．

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其中正确命题的序号为．查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等