已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成...

依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，，所以=．由直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，知ax2+（b+1）x-4=0中△=（b+1）2+16a=0，由此能求出S达到最大值的a，b值及S的最大值． 【解析】 依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，， 所以=（） =+ =（1）…（4分） 又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切， 即它们有唯一的公共点 由方程组， 得ax2+（b+1）x-4=0，其判别式△必须为0， 即△=（b+1）2+16a=0， 于是，…（8分） 代入（1）式得：， ． 令S′（b）=0，在b＞0时，得b=3； 当0＜b＜3时，S′（b）＞0； 当b＞3时，S′（b）＜0． 故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值， 即a=-1，b=3时，S取得最大值，且．…（12分）