如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE﹣DCF和一个四棱锥P﹣ABCD组合而成...

如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE﹣DCF和一个四棱锥P﹣ABCD组合而成，其中EF＝EA＝EB＝2，AE⊥EB，PA＝PD，平面PAD∥平面EBCF．

（1）证明：平面PBC∥平面AEFD；

（2）求直线AP与平面PCD所成角的正弦值．

（1）见解析（2）．【解析】（1）取EF中点O，BC中点G，AD中点H，连结OH，PH，OG，PG，证明OH∥PG，AD∥BC，故得证. （2）以O为原点，OE为x轴，OG为y轴，OH为z轴，建立空间直角坐标系，计算平面PCD的法向量，借助线面角的向量公式即得解. 证明：取EF中点O，BC中点G，AD中点H，连结OH，PH，OG，PG，由题意得PH2＝OH＝OG， ∴PHOG，∴四边形PHOG是平行四边形，∴OH∥PG， ∵ABDC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∵AD∩OH＝H，BC∩PG＝G， ∴平面PBC∥平面AEFD．以O为原点，OE为x轴，OG为y轴，OH为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，2），P（0，2，2），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，2），（1，﹣2，0），（﹣1，0，﹣2），（﹣1，﹣2，0），设平面PCD的法向量（x，y，z），则，取x＝2，得（2，﹣1，﹣1），设直线AP与平面PCD所成角为θ，则sinθ． ∴直线AP与平面PCD所成角的正弦值为．

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考点分析：

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某校从2011年到2018年参加“北约”，“华约”考试而获得加分的学生（每位学生只能参加“北约”，“华约”一种考试）人数可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推……）

年份x	1	2	3	4	5	6	7	8
人数y	2	3	4	4	7	7	6	6

（1）据悉，该校2018年获得加分的6位同学中，有1位获得加20分，2位获得加15分，3位获得加10分，从该6位同学中任取两位，记该两位同学获得的加分之和为X，求X的分布列及期望．

（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x之间的线性回归方程，并用以预测该校2019年参加“北约”，“华约”考试而获得加分的学生人数．（结果要求四舍五入至个位）

参考公式：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等