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在直三棱柱中,且,设其外接球的球心为O,已知三棱锥的体积为2.则球O的表面积的最...

在直三棱柱中,,设其外接球的球心为O,已知三棱锥的体积为2.则球O的表面积的最小值是()

A. B. C. D.

 

B 【解析】 设,球的半径为R,因为底面均为直角三角形,故外接球的球心为两个底面三角形外接圆圆心的连线的中点,如图中O点为三棱柱外接球的球心.根据三棱锥O−ABC的体积为2,可得,接着表示出R,根据基本不等式可得到球的表面积的最小值. 如图,在中, 设,则,取的中点分别为则分别为和的外接圆的圆心,连接,又直三棱柱的外接球的球心为O,则O为的中点,连接OB,则OB为三核柱外接球的半径。设半径为R,因为直三棱柱,所以,所以三棱锥的高为2,即,又三棱锥体积为2,所以.在中,, 所以,当且仅当时取“=”,所以球O的表面积的最小值是,故选B.
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